解2-cosの積の和の計算の解説

さて……

問2の解説をしていきます．

ぜひ最後までお付き合いください．

今回の問題は任意の異なるcosの積の和を計算するもの．

この問題は気づけばそう難しくありません．

難度Bといったところでしょうか？

とりあえず，解答．

★解答★

上の展開公式より，次の式が得られる．

ここで，0<θ<πのときcosθ+cos(π-θ)=0なので，nが奇数のときと偶数のときに分けて計算すると，

であることがわかる．ここで，

として次の式を計算する．

よって，

であるので，

と求まった．

★★★★

の計算が技巧的でしたが，cosの位相が等差数列であるものの和の計算は有名で，大学入試でもよく出題されます．

解答と同じようにして次の式も計算できるので確認しましょう．

さて……

問2は三角関数の知識だけで解けましたが，次の式はそうもいきません．

というのも，展開公式を使おうとすると計算が煩雑になってしまうからです．

難度Cです．

そこで，今回は次のように考えます．

方程式の解と係数の関係を使って解きます．

ちなみに，問2も次のようにして計算できます．

そして，この計算をするうえで大切な式がChebyshevの多項式（チェビシェフの多項式）です．

まず，次の式を考えます．

このとき，

が成り立つので，この両辺をsin xで割ると，

という漸化式が得られる．

なので，任意のnに対してf_n(x)はcos xのn次式になることが帰納的にわかる．

そこで，次の式でg_n(x)を定める．

すると，g_n(x)はxのn次式となる．

このg_n(x)をChebyshevの多項式と言います．

Chebyshevの多項式には様々な性質がありますが，まずはf_(n-1)(x)=0の解xがどのようなものか調べてみましょう．

f_(n-1)(x)=0かつsin x≠0のとき，

なので，

となる．すなわち，方程式g_(n-1)(x)=0の解は，

となるので，Chebyshevの多項式を調べればこの問題は解けます．

そしてもう１つ．

Chebyshevの多項式を列挙してみましょう．

４つ列挙しましたが，何か気づきましたか？

……実は，

• nが偶数のとき，xの奇数乗の係数は0．
• nが奇数のとき，xの偶数乗の係数は0．

となっているのです！

これは帰納法で示すことができます．

すなわち！！

となっているのです．

ちなみに，

となっているので，ぜひ確かめてみてください．（漸化式から計算できます）