E問3-2016年京都大学特色入試の類題

どうも．

としなかです．

梅雨も本番になり，雨の日が続きますがいかがしていますか？

頭痛もちの人にはつらい日々かもしれません．

体調にはお気をつけて．

というわけで，早速今日の一問．

今日の問題は2016年京都大学理学部特色入試第３問を一般化したもの＋αです．

2016年は京都大学で特色入試が行われた最初の年で，理学部の試験が４時間４問というあまりにも長い試験時間であり，かつ内容が難しすぎると当時話題になりました．

今でも京大理学部の特色入試は凶悪な問題が出揃っており，「日本一数学の問題が難しい大学入試」といっても過言ではないでしょう．

その上，定員５名の入試に毎年約80人が出願するので，倍率もものすごく高いです．

ちなみに，筆者も現役のとき受験しました．（結果はボロボロでした）

というわけで，今日の問題はこちら．

特色入試ではa=2のときについて小問３つに分けて出題されました．(1),(2)がk,nが具体的な値のときについての問い，(3)が本問における(2)でa=2のときについて出題されました．

その問題を今回はaを2以上の整数として一般化し，ついでに(3)も作ってみました．

まぁ，一般化しても解法の本質は変わらないのですが……

ちなみに，(1)はもののついでに挿入した問題です．

(2),(3)とはあまり関係のない問題なので，悪しからず．

本問の解説は長くなるので，投稿するまで時間がかかるかもしれません．

以下，この問題のヒントとなります．

(1)については，多くを語ると解けてしまいそうなのであまり語らないことにします．

回転して同じ並べ方になるのはどのような並べ方なのか，それがいくつあるのか具体的なa,nの値で実験してみるといいでしょう．

(2)について．

連続して並ぶk枚を選ぶとき，その選び方にどのような性質が生まれるのか？

その性質がこの問題を解くカギになります．

(3)について．

これは，「すべてのカードに１と書かれた状態から２と書かれた状態にすることが可能なのはどういったときなのか？」を何らかの形で表現できたら解けます．